Matemática Básica

Multiplicação

A multiplicação nada mais é que uma soma de parcelas iguais.

A multiplicação como soma de parcelas iguais:

Quando temos uma soma em que as parcelas são iguais, como 25 + 25 + 25 = 75, podemos usar a multiplicação. Dizemos então 3 vezes 25 e representamos 3 x 25, ou seja, estamos somando o número 25 três vezes.

Principio Multiplicativo

A multiplicação também é a base de um tipo de raciocínio muito importante na matemática, chamado principio multiplicativo. Vejamos um exemplo.

Maria vai sair com suas amigas e está escolhendo a roupa que usará. Separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar

	Blusas
Saias	Rosa	Azul	Amarela
Preta	Rosa e Preta	Azul e Preta	Amarela e Preta
Branca	Rosa e Branca	Aul e Branca	Amarela e Branca

Pela tabela, observamos que Maria tem 6 possibilidades de se arrumar. Matematicamente, temos 2 saias para combinar com 3 blusas, o que dá a Maria 2 x 3 = 6 opções.

Propriedades da Multiplicação

Propriedade comutativa

Uma das aplicações básicas da multiplicação de dois números é a de contar objetos que estão arrumados em linhas e colunas, formando um retângulo.

* * * * *          As bolinhas podem representar qualquer coisa ou objetos

* * * * *

* * * * *

* * * * *

Concluímos, então, que 4 x 5 = 5 x 4, sendo ambos os resultados iguais a 24. Essa propriedade pode ser resumida na seguinte frase: A ordem dos fatores não altera o produto.

Propriedade associativa

Quando temos várias operações seguidas, indicamos dentro do parênteses ( ) aquela que deve ser feita primeiro. Por exemplo, a operação 5 x (6 – 2) deve ser feita assim: 5 x (6 - 2) = 5 x 4 = 20

Agora vamos imaginar que você tenha que fazer a conta 5 x 2 x 3. Como fazer? Podemos experimentar duas maneiras:

(5 x 2) x 3 = 10 x 3 = 30

5 x (2 x 3) = 5 x 6 = 30

Como já sabemos que a ordem dos fatores não altera o produto, podemos ainda experimentar outras maneiras de multiplicar esses três números:

2 x (5 x 3) = 2 x 15 = 30

(3 x 2) x 5 = 6 x 5 = 30

Essas experiências nos levam a concluir a seguinte propriedade: Se temos várias multiplicações, qualquer uma pode ser feita primeiro.

Exemplo: Um micro empresário dono de uma fábrica de vestidos contratou uma costureira. Essa nova Costureira era excelente e conseguia fazer 5 vestidos por dia. Ela passou a ganhar, por dia, R$ 6,00 para pagar o ônibus e mais R$ 3,00 por vestido feito. Quanto ela vai receber diariamente?

A conta a ser feita é: 6 + 5 x 3

São R$ 6,00 do ônibus. Se ela ganha R$ 3,00 por vestido, ganhará por todos: 5 x 3. Como devemos fazer a conta:

Assim: 6 + 5 x 3 = 11 + 3 = 33

Ou: 6 + 5 x 3 = 6 + 15 = 21

Não podemos fazer primeiro a conta 6 + 5 porque não tem nada a ver somar o dinheiro reservado para o ônibus com o dinheiro ganho pelos vestidos.

Regra importante: Se temos varias operações seguidas, devemos fazer primeiro as multiplicações e, depois, as somas e subtração.

Propriedade distributiva

Agora vamos imaginar a seguinte situação: dois irmãos resolvem rifar uma bicicleta que não usam, embora ela seja quase nova. João diz: "Vamos vender cada bilhete da rifa por R$ 2,00 , para nossos amigos". Pedro responde: "Esta certo. Depois fazemos um sorteio pra ver quem leva."

João vendeu 3 bilhetes e Pedro vendeu 7 bilhetes. Quanto eles arrecadaram?

1ª Maneira: Verificar quanto cada um arrecadou e, depois, somar.

2 x 3 + 2 x 7

Chegamos à conclusão de que João arrecadou R$ 6,00 e Pedro arrecadou R$ 14,00. Portanto, os dois juntos arrecadaram R$ 20,00

2ª Maneira: Verificando quantos bilhetes foram vendidos ao todo e multiplicamos pelo valor de cada um.

2 x (3 + 7)

Concluímos que foram vendidos 10 bilhetes por R$ 2,00 cada um.

Por isso o total arrecadado é de: R$ 2,00 x 10 = R$ 20,00

Com este exemplo, descobrimos que: 2 x (3 + 7) = 2 x 3 + 2 x 7

Concluímos que: Se um número multiplica uma soma, então ele multiplica cada parcela dessa soma.

Divisão

Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total em partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.

Exemplo: Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todos tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?

Basta dividir, 80 por 5

80 : 5 = 16

Esta divisão foi exata, ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum.

Exemplo 2: Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas?

Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:

46 I 6

-42 7

4

O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa. Mas o resto igual a 4 indicaram que sobraram ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto o elevador fará 8 viagens para transportas todas as pessoas.

Subtração

A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. E diminuir alguma coisa.

Símbolo: -

Exemplo: 5 – 3 = 2

Onde o 5 é minuendo, 3 é subtraendo e 2 o resto ou diferença.

Propriedades da Subtração

Relembrando: Conjunto dos Números Naturais N

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, … }

• O conjunto N não é fechado em relação a operação de subtração, pois 4 – 5 não pertence a N.
• A subtração em N não possui elemento neutro em relação a operação de subtração:

6 – 0 = 6 Entretanto: 0 – 6 ≠ 6

• A subtração no conjunto N não admite propriedade comutativa, pois: 4 – 5 ≠ 5 – 4.
• A subtração no conjunto N não aceita a propriedade associativa, pois (10 – 4 ) – 2 ≠ 10 – (4 – 2)

A operação da subtração pode ser considerada como a operação inversa da adição, considerando:

7 + 2 = 9 “equivale a” 7 = 9 – 2

7 + 2 = 9 “equivale a” 2 = 9 – 7

Portanto, podemos concluir que a subtração é inversa a adição, e uma das parcelas é igual a soma menos a outra.

Exemplo: Paulo tinha uma coleção com 235 figurinhas, ele então decidiu dar para seu irmão 63 figurinhas, com quantas figuras Paulo ficou?

235 – 63 = 172

Solução: é importante identificar qual o valor principal, que é de onde será descontado, aqui em nosso caso é 235.