Material de Matemática para Negócios: outubro 2015

Função polinomial de 1º grau

Chama-se função polinomial de 1º grau qualquer função f dada por uma lei de formação, f(x)=ax+b, em que a e b são números reais.

1. Como se chama o gráfico de uma função de 1º grau?

O gráfico de uma função de 1º grau, f(x)=ax+b, é chamado reta.

2. Construção de um gráfico de função de 1º grau

O gráfico de uma função f serão os pontos do plano cartesiano da forma (x,f(x)) para xєD(f).

Para o nosso exemplo iremos usar a função: f(x)=5x-10

3. Principais pontos para desnhar uma reta

• As raízes da equação, f(x) = 0.

Para o nosso exemplo: f(x)= 5x-10

5x-10=0

5x=10 Ponto(2,0)

x=2

• Interseção da reta com o eixo y. Ponto (0,b)

Para o nosso exemplo: f(x)= 5x-10

b=-10 Ponto(0,-10)

Quando uma reta será crescente, decrescente ou constante?

Uma reta será:

· cresente quando a>0;

· decrescente quando a<0;

· constante quando a=a.

Para o nosso exemplo: f(x)= 5x-10

A reta será crescente

4. Montando gráfico de 1º grau

5. Imagem da função

O conjunto imagem (Im) da função f(x)= ax+b, é o conjunto de valores que f(x) pode assumir.

Para o nosso exemplo: f(x)= 5x+10

Im=R

Aplicação de funções de 1º grau

— Podemos aplicar função de 1º grau na função demanda e na função oferta.

— Exemplo 1:

a)Faça o gráfico da função demanda, D(p)=-p+200;

b) Determine o intervalo de variação do preço;

c) Determine o intervalo de variação da demanda;

d)Qual será o preço se a demanda for 85?

e)Qual será a demanda se o preço for 20?

Resposta:

b) 0<p<200

c) 0<D<200

d) D=-p+200

85=-p+200

p=200-85

p=115

e)D=-p+200

D=-20+200

D=180

— Exemplo 2: Represente graficamente a função S = x-160

— Exemplo 3: Encontro o ponto de equilíbrio entre as funções dos exemplos 1 e 2, D=-x+200 e S=x-160.

-x+200=x-160

-x-x=-160-200

-2x=-360

x=180

Substiuindo na função demanda:

D=-x+200=-180+200=20

Ponto de equilíbrio (180,20)

Função quadrática ou função polinomial de 2º grau

Chama-se função quadrática qualquer função f dada por uma lei de formação, f(x)=ax² +bx+c, em que a,b,e c são números reais e a≠0.

1. Como é chamado o gráfico de uma função de 2º grau?

O gráfico de uma função de 2º grau, f(x)=ax² +bx+c, com a≠0, é chamado parábola.

2. Construção de um gráfico de função de 2º grau

Para que conseguirmos montar um gráfico de uma função de 2º grau podemos seguir um roteiro. A seguir o passo a passo. Como exemplo iremos usar a função,

f(x)= 2x² -5x+2.

— Passo 1 – Achar as raízes da função que definem onde a parábola irá interceptar o eixo x.

As raízes de uma equação são os números que x assume quando f(x)=0.

A quantidade de raízes de uma função de 2º depende do valor obtido em Δ.

- Quando Δ > 0 , existem 2 raízes reais e distintas.

- Quando Δ = 0, existe apenas 1 raiz real.

- Quando Δ < 0, não existe raiz real.

— Passo 2 –Achar o valor de c na função que define onde a parábola irá interceptar o eixo y.

Para x=0, temos:

f(x)= a.0+b.0+c = c

Então, (0,c) é o ponto em que a parábola corta o eixo y.

Para o nosso exemplo: f(x)= 2x² -5x+2

c=2

Ponto de interseção com y (0,2).

— Passo 3 – Encontrar o vértice da parábola.

O ponto do vértice é determinado pelas seguintes fórmulas:

X_v= - b e Y_v = - Δ

2.a 4.a

Para o nosso exemplo: f(x)= 2x² -5x+2

X_v = -(-5) = 5 Y_v = - 9 = -9

2.2 4 4.2 8

Vértice (1,25; -1,13)

— Passo 4 – Descobrir a concavidade da parábola

- Quando a>0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo.

- Quando a<0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo.

Para o nosso exemplo: f(x)= 2x² -5x+2, a parábola terá concavidade para cima e um ponto mínimo(encontrado anteriormente)

— Passo 5 – Montar o gráfico

3. Imagem da função

O conjunto imagem (Im) da função f(x)= ax² +bx+c, é o conjunto de valores que f(x) pode assumir.

Para o nosso exemplo: f(x)= 2x² -5x+2

Im={f(x) є R / y≥-9/8}

A imagem tem 2 possibilidades:

- Quando a>0 , Im={yєR/y≥y_v }

- Quando a<0, Im={yєR/y≤y_v }

Aplicação de funções de 2º grau

Podemos aplicar função de 2º grau na função demanda e na função oferta.

— Exemplo 1:

a)Faça o gráfico da função demanda, D(p)=25-p²;

b) Determine o intervalo de variação do preço;

c) Determine o intervalo de variação da demanda;

Rspostas:

25-p² =0 Xv=0 Yv=4.1.25 = 25

p² = 25 4.1

p=±5

b)0<p<5

c)0<p<25

Exemplo 2: Dada a função S=p²− 11p + 28,para p ≤ 10 determine:

a) Qual será o preço se a oferta for 18?

b) Qual será a oferta de o preço for 8?

S=p²− 11p + 28

18= p² -11p+28

p² -11p+10=0

Δ=(-11)² -4.1.10=121-40=81

p= -(-11) ±√81 p₁= 11+9 = 20 =10

2.1 2 2

p₂= 11-9 = 2 =1

2 2

Para oferta 18 o preço será 1.

b) S=p²− 11p + 28

S=8² – 8.5 + 28

S=64 – 40 +28

S=52

Para o valor de 8 reais a oferta são 52 unidades.

— Exemplo 3: Determine o preço e a quantidade de equilíbrio das funções, D=16-p² e S=p²-9, e expresse graficamente.

D=S

16-p² = p²-9

2p² = 25

p² = 12,5

P = ± 3,5

Substituindo p² em S:

S=p²-9 = 12,5-9=3,5

Ponto de equilíbrio(3,5;3,5)

Pontos para a função D=16-p² :

16-p² =0

p² =16 (4,0)

p= ±4 (-4,0)

Vértice: (0,16)

Xv=0 Yv=-[-4.(-1).16] = 16

4.(-1)

Pontos para a função S=p²-9:

p²-9 =0

p² =9 (3,0)

p = ±3 (-3,0)

Vértice: (0,-9)

Xv=0 Yv=-[-4.1.(-9)] = -9

4.1

Alunas:

Camila Fernandes

Clarice Cavalcante Cirqueira

Ingledy Santos

Giovana Lima Correia

Nathália Silva dos Santos

Material de Matemática para Negócios

sábado, 3 de outubro de 2015

Videos de equação do segundo grau.

MATEMÁTICA - FUNÇÕES

Arquivo do blog