Derivadas
As derivadas são utilizadas
para o estudo nas quais variem as grandezas físicas. Nos permite aplicar os
seus conhecimentos a qualquer quantidade ou grandeza, desde que seja representada por uma função.
Derivadas na economia
A análise marginal é o
estudo das taxas de variação das quantidades econômicas. Ex: Além do valor do PIB, interessa ao economista saber a qual taxa
ele aumenta ou diminui. Da mesma maneira, interessa ao produtor saber além do
nível de produção, a taxa de variação do custo total em relação ao nível de
produção.
Exemplo prático de
aplicação:
Função Custo
Uma função custo de uma cia para a fabricação de x produtos é dada pela
função:
C(x) = 8000 + 200x –
0,2x² (0 ≤ x ≤ 400)
a) Determine a taxa de variação da função custo total com relação a x
quando x = 250
A taxa de variação do custo
total C com relação a X, nada mais é do que derivada de
ou seja:
C’(x) = 200 – 0,4x
Desta forma, tendo a quantidade de x, encontra-se a taxa de
variação da produção,
apenas substituindo o x por 250, ficando:
C’(250) = 200 –
0,4(250) = 100.
Quando a produção é de 250
unidades, a taxa de variação do custo total com relação
ao produto é 100.
b) Qual o custo fixo da empresa?
O custo fixo da empresa é
aquele que independe da produção, ou seja, quando a
produção é zero.
Resolvendo: C(0) = 8000 +
200(0) – 0,2(0)²
C(0) = 8000
O custo fixo quando a produção é zero é igual a 8000.
Função Receita
É representada pelo produto
entre o preço e a quantidade.
R(x) = p.x
A relação entre preço unitário p e a quantidade demandada de x de
uma
empresa é dado por:
P = -0,02x + 400 (0 ≤ x ≤ 20000)
a)Determine a função receita.
A receita é dada por: preço
x quantidade produzida, desta forma a função seria:
R=( -0,02x + 400 ) x
R = -0,02x² + 400x
b) Determine a função receita marginal.
Como visto anteriormente na
função custo, a função receita marginal será a
derivação da função receita:
R = -0,02x² + 400x
R’= -0,04x + 400
Função Lucro
É representada pela
diferença entre receita e custo.
L(x) = R - C
Exemplo prático de
aplicação interligando
todas as três funções:
Temos uma função custo dada por:
C(x) = 100x + 200.000
E uma função receita dada
por:
R(x) = -0,02x² + 400x
Então a função lucro seria:
L(x) = (-0,02x² + 400x) – (100x + 200.000)
L(x) = -0,02x² + 400x – 100x + 200.000
L(x) = -0,02x² + 300x + 200.000
Tendo a função lucro: L(x) = -0,02x² + 300x + 200.000, se a derivarmos e
igualarmos a zero encontramos o ponto em
que o lucro da empresa é
maximizado:
L(x) = -0,02x² + 300x +
200.000
L'(x) = -0,04x + 300 = 0
0,04x = 300
x = 7.500 (candidato a máximo)
Classificando:
L''(x)=-0,04, substituindo x=7.500 temos L''(7.500)=-0,04<0.
Logo x=7.500 é ponto de máximo da função lucro, isto é, devem ser vendidas 7.500 unidades para que a empresa tenha lucro máximo.
Classificando:
L''(x)=-0,04, substituindo x=7.500 temos L''(7.500)=-0,04<0.
Logo x=7.500 é ponto de máximo da função lucro, isto é, devem ser vendidas 7.500 unidades para que a empresa tenha lucro máximo.
