DERIVADAS & APLICAÇÕES NA ECONOMIA

Derivadas 

As derivadas são utilizadas para o estudo nas quais variem as grandezas físicas. Nos permite aplicar os seus conhecimentos a qualquer quantidade ou grandeza, desde que seja representada por uma função.

Derivadas na economia

A análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades econômicas. Ex: Além do valor do PIB, interessa ao economista saber a qual taxa ele aumenta ou diminui. Da mesma maneira, interessa ao produtor saber além do nível de produção, a taxa de variação do custo total em relação ao nível de produção.

Exemplo prático de aplicação:

Função Custo

             

Uma função custo de uma cia para a fabricação de x produtos é dada pela função:

C(x) = 8000 + 200x – 0,2x²    (0 ≤ x ≤ 400)

a) Determine a taxa de variação da função custo total com relação a x quando x = 250

A taxa de variação do custo total C com relação a X, nada mais é do que derivada de

ou seja: 

C’(x) = 200 – 0,4x

Desta forma, tendo a quantidade de x, encontra-se a taxa de variação da produção,

apenas substituindo o x por 250, ficando: 

C’(250) = 200 – 0,4(250) = 100. 

 Quando a produção é de 250 unidades, a taxa de variação do custo total com relação

ao produto é 100.

b) Qual o custo fixo da empresa?

O custo fixo da empresa é aquele que independe da produção, ou seja, quando a

produção é zero.

Resolvendo:       C(0) = 8000 + 200(0) – 0,2(0)²

                                    C(0) = 8000

O custo fixo quando a produção é zero é igual a 8000.

Função Receita

É representada pelo produto entre o preço e a quantidade.

R(x) = p.x

A relação entre preço unitário p e a quantidade demandada de x de uma

empresa é dado por:

P = -0,02x + 400  (0 ≤ x ≤ 20000)

a)Determine a função receita. 

A receita é dada por: preço x quantidade produzida, desta forma a função seria:

R=( -0,02x + 400 ) x

R = -0,02x² + 400x

b)  Determine a função receita marginal.

Como visto anteriormente na função custo, a função receita marginal será a

derivação da função receita:

R = -0,02x² + 400x

R’= -0,04x + 400

Função Lucro

             

É representada pela diferença entre receita e custo.

L(x) = R - C

Exemplo prático de aplicação interligando

todas as três funções:

Temos uma função custo dada por:

C(x) = 100x + 200.000

E uma função receita dada por:

R(x) = -0,02x² + 400x

Então a função lucro seria:

L(x) = (-0,02x² + 400x) – (100x + 200.000)

L(x) = -0,02x² + 400x – 100x + 200.000

L(x) = -0,02x² + 300x + 200.000

Tendo a função lucro: L(x) = -0,02x² + 300x + 200.000, se a derivarmos e

igualarmos a zero encontramos o ponto em que o lucro da empresa é

maximizado:

L(x) = -0,02x² + 300x + 200.000

L'(x) = -0,04x + 300 = 0

0,04x = 300

x = 7.500 (candidato a máximo)


Classificando:

L''(x)=-0,04, substituindo x=7.500 temos L''(7.500)=-0,04<0.
Logo x=7.500 é ponto de máximo da função lucro, isto é, devem ser vendidas 7.500 unidades para que a empresa tenha lucro máximo.